Answer
１．社外取締役として果たす責任や職務は税務局の調査対象になるのか？
ご質問の内容が曖昧ですが、税務調査の対象は法人の行う事業活動全般になりますので、貴殿が社外取締役として行う業務についても調査の対象となりえます。また、その業務の内容が税金の多寡に直接的な影響を及ぼす可能性があるものであれば、関心も高いと言えるかも知れません。
２．一般的に社外取締役として必要最低限の職責は何か？
取締役の責務は代表取締役の監督義務、取締役会（設置会社の場合)への出席義務となります。
３．必要最低限の職責を果たしたとして、適当な役員報酬額（上限も含めて）は幾らなのか？
業務見合いで決定しなければなりませんので一概には言えませんが、取締役会の出席に際し日当として5万円程度というレベルであれば大丈夫ではないでしょうか。
４．報酬に対して税金はどのように支払うのか？
一義的には会社が源泉徴収し、支払うことになります。
また、2箇所以上の給与になりますので、年間での収受額が20万円を超える場合には、翌年2月16日～3月15日の間に所得税の確定申告書を提出しなければなりません。
５．私の働く会社は私が社外取締役を兼任していることを知ることができるのか？
受動的に知りうることがないように配慮を行うことは可能です。受動的に勤務先が他の所得の存在を知りうるのは住民税の決定額によることが多いのです（住民税の納付額には所得の金額の記載がありますので、所得の種類、金額の詳細を知りえます)が、近年の所得税の確定申告書の様式変更により、給与所得以外の所得に係る住民税は自宅宛に送付してもらうことも可能となっています。従って、2箇所分の給与に関する住民税も自宅宛に納付書を送付してもらうことが可能であると考えています（実務上、我々の事務所にはこのようなニーズが寄せられた経験がないため、実際に申告時に手続きを行ったことはありません。具体的な記載方法等の詳細はお手数ですが、役所に直接問い合わせください)。